山西师范大学基础数学考博初试主要考察数学专业核心知识体系与科研能力，考试科目包括数学分析、高等代数、拓扑学、泛函分析、微分几何、微分方程、概率统计等方向，满分500分，考试时长180分钟。从近五年真题统计发现，约65%的考点集中在数学分析（实分析、复分析）和高等代数（线性代数、抽象代数）领域，其中实分析中的勒贝格积分、测度论（占比28%）、泛函分析中的巴拿赫空间与希尔伯特空间（占比22%）、拓扑学中的点集拓扑与代数拓扑（占比18%）为高频考点。

数学分析部分重点考察实分析中的收敛性判别（柯西准则、魏尔斯特拉斯定理等）、函数项级数的一致收敛性（阿贝尔判别法、狄利克雷判别法）、勒贝格积分的定义与性质（绝对可积性、积分收敛定理）、含参变量积分（含参积分与反常积分交换次序条件）以及傅里叶级数收敛定理（狄利克雷条件）。典型真题如：设f(x)在[0,1]上可积，证明∫₀¹ f(x)dx=lim_{n→∞}∫₀¹ f(x)sin(nx)dx，需运用Riemann-Lebesgue引理与积分收敛定理。

高等代数考试中抽象代数占主导地位，重点包括群论中的 Sylow定理应用（证明有限群阶数特性）、环论中的理想结构（主理想整环与欧几里得环的判定）、模论中的同态基本定理（自然映射的核像关系）、线性代数中的矩阵分解（Jordan标准形、奇异值分解）及二次型理论（正定矩阵的充要条件与合同变换）。近三年连续出现关于伽罗瓦理论的综合性题目，如：设F⊆K⊆L为域扩张，若[L:F]有限且G=Aut_F(L)满足|G|=[L:F]，试证L/F为伽罗瓦扩张。

专业综合考试涉及多个方向交叉问题，微分几何方向近年侧重曲线曲面论中的高斯-科达齐方程应用，典型题目为：证明正则参数化曲面S⊂ℝ³的Weingarten映射满足|A|²=Kg，其中K为高斯曲率。微分方程方向则关注动力系统与稳定性理论，如：分析微分方程dx/dt=Ax的零解稳定性，需运用李雅普诺夫函数与特征值分布关系。

考试技巧方面需注意：①数学分析证明题采用"定义-定理-推论"三级论证结构，如证明Egorov定理时需分ε-δ语言与测度收敛性双重论证；②高等代数计算题强调标准化步骤，如求置换群轨道长度应用Burnside引理时，需明确列出所有共轭类并计算固定点数；③拓扑学证明题注重范畴论语言，如证明Tychonoff定理需运用Zorn引理构建超滤链。

推荐复习资料包括：Rudin《Principles of Mathematical Analysis》（重点第四章与第五章）、Dummit & Foote《Abstract Algebra》（第七章群论与第十章模论）、Munkres《Topology》（第二章点集拓扑与第三章紧化理论）、Evans《Partial Differential Equations》（第二卷泛函分析方法）、 do Carmo《Differential Geometry of Curves and Surfaces》（第四章高斯-科达齐方程）等。建议考生建立知识图谱，将测度论、拓扑空间、线性算子等核心概念进行跨学科联结，例如将豪斯多夫度量空间与巴拿赫空间结合分析，或从群同态自然映射引申到Galois对应。