首都师范大学基础数学考博初试以全面考察数学专业核心知识和科研潜力为核心目标，其考试体系融合了代数、几何、分析三大基础领域与前沿研究方向。初试科目包含数学分析、高等代数、解析几何与拓扑学三大学科综合，每科120分，总分360分，考试形式为闭卷笔试。考生需在180分钟内完成涵盖微积分、级数理论、实变函数、复分析、群论、环论、范畴论、微分几何、代数拓扑等核心模块的试题，要求兼具计算能力与理论深度。

参考书目以经典教材为主，数学分析选用陈纪修《数学分析》与王雪村《数学分析教程》，重点覆盖极限理论、一致收敛性、勒贝格积分、微分方程解的存在唯一性定理等章节；高等代数采用丘维声《高等代数》与万哲先《代数学》双轨复习，需深入掌握线性空间同构、格拉斯曼定理、伽罗瓦理论、矩阵扰动理论等核心内容；解析几何与拓扑学则推荐丘维声《解析几何》与丘维声、万哲先《代数拓扑》合著，重点突破黎曼曲面论、纤维丛理论、层论基础等现代几何拓扑知识点。

备考策略建议采用"三阶段递进式复习"：基础阶段（3-6个月）以教材精读为主，建立知识框架，每日完成2小时定理推演与例题解析，同步整理错题本标注薄弱环节；强化阶段（2-3个月）实施专题突破，针对傅里叶分析、谱理论、模论等高频考点进行专题训练，每周完成3套模拟试题并分析命题规律；冲刺阶段（1-2个月）聚焦真题研究，近十年真题需至少完成5轮全真模拟，重点掌握跨学科综合题解题技巧，如利用拓扑学工具处理微分方程边值问题等创新题型。

真题分析显示近五年考试呈现三大趋势：一是计算题占比提升至65%，典型如2021年实变函数考题涉及勒贝格积分与Radon-Nikodym定理的综合应用；二是证明题难度显著增加，2022年代数拓扑考题要求证明纤维丛的规范群与结构群等价性；三是交叉学科题目比例达25%，涉及代数几何与数论结合的椭圆曲线应用题。建议考生特别关注《数学分析》中的一致收敛与分布理论，《高等代数》中的非交换环理论，以及《代数拓扑》中的层论应用等前沿内容。

面试环节注重科研潜力评估，通常包含两个环节：第一环节为专业提问，涉及报考方向相关的前沿问题，如2023年拓扑学方向考生的黑洞拓扑学问题；第二环节为自由讨论，考生需在20分钟内完成随机抽取的数学猜想验证，如证明或反驳"每个紧致李群都是可解群"等命题。建议考生提前准备个人研究计划书，重点突出数学建模能力与跨学科研究经历，同时掌握近三年国际数学家大会热点议题。

备考资源推荐采用"四维学习体系"：教材精读（陈纪修+丘维声系列）、学术专著（如《代数几何基础》《现代分析》）、MOOC课程（Coursera代数拓扑专项课程）与学术讲座（中国数学会年度报告）。特别建议关注《数学进展》《数学物理学报》等期刊的近期综述文章，培养文献综述能力。最后提醒考生注意考试时间分配，数学分析建议每题控制在25分钟内，拓扑学证明题需预留充足推演时间，避免因局部难题影响全局得分。