中科院数学科学学院基础数学考博初试自2018年改革以来，考试体系逐步形成以抽象代数、拓扑学、微分几何为核心，兼顾分析学与其他数学分支的综合性考核模式。近五年数据显示，代数科目占比稳定在35%-40%，拓扑学与几何学合计占比达30%-35%，数学分析保持25%-30%的比重，数学物理方程与概率统计等科目权重逐年下降至5%以下。考试形式由传统的闭卷笔试调整为包含闭卷考试（4小时）与开卷论文写作（3小时）的混合模式，其中开卷部分要求考生在指定数学手册（如《现代数学手册》）基础上进行原创性论述。

数学分析科目重点考察实分析（40%）与复分析（30%）内容，典型题型包括：1）基于勒贝格积分的实函数空间性质证明（年均出现3-4题）；2）傅里叶级数收敛性定理的推广与反例构造（近三年连续出现）；3）复变函数中全纯函数唯一性定理在几何分析中的应用（2022年新增考点）。代数部分近年呈现两大趋势：一是群表示论与李代数结合的题目占比提升（2023年占代数题量28%）；二是模论与范畴论基础题频现（如2021年范畴的极限与共极限的代数刻画）。拓扑学考试中，代数拓扑（特别是刘维尔定理证明）与点集拓扑（ компактность条件的多种等价性）构成核心，近五年平均分值占比达拓扑总分的62%。

考试内容呈现明显交叉特征，例如2023年代数几何与拓扑学联合出题"用谱序列证明莫比乌斯带的双曲结构"，要求考生同时掌握格罗滕迪克拓扑与黎曼曲面论知识。跨年度考点关联性分析显示，连续三年涉及微分几何与拓扑学的"高维流形可定向性条件"问题，均与近年陈省身几何奖相关研究热点紧密关联。备考建议采用"三维度训练法"：基础层（精读Dixson《代数拓扑》+ Spivak《微分几何》核心章节）；提升层（完成近五年真题分类重做+《现代数学手册》专题精读）；创新层（每月撰写1篇结合前沿论文的考博论文，重点训练文献综述与问题转化能力）。特别需要注意2023年新修订的《中国科学院大学数学学科博士培养方案》中强调的"数学哲学与科学方法论"考核要求，建议系统研读Shen《数学哲学导论》并撰写相关读书报告。