考生在备考中国人民大学应用数学专业博士考试时，需系统掌握数学核心理论与研究方法。根据近年招生简章及真题分析，考试内容主要涵盖数学分析、高等代数、概率论与数理统计、偏微分方程、实变函数与复变函数五大基础模块，以及数学物理方法、优化理论、随机过程等进阶领域。以下为各科推荐参考书目及备考建议：

数学分析方面，张宇《数学分析新讲（第四版）》为首选教材，重点掌握极限理论、实数完备性、一致收敛与函数项级数（第七章）、曲线曲面积分（第十二章）及微分方程解的存在唯一性定理（第十五章）。建议配合陈纪修《数学分析》强化勒贝格积分与泛函分析基础，通过王雪《数学分析考研教案》查漏补缺，尤其是闭包定理、分划法等难点。

高等代数以丘维声《高等代数（第四版）》为核心，需深入理解线性空间结构（第二章）、线性变换分类（第四章）、二次型标准化（第六章）及群环域初步（第十二章）。可拓展阅读李华《高等代数解题技巧》强化矩阵分解、特征值应用等题型训练，特别注意张量代数与微分形式在几何建模中的延伸应用。

概率论与数理统计推荐浙大版《概率论与数理统计（第四版）》，重点突破大数定律证明（第二章）、中心极限定理应用（第三章）、参数估计（第五章）及假设检验（第六章）。建议结合盛骤《概率论与数理统计》补充贝叶斯推断案例，使用《数理统计教程（霍奇金森）》深化线性回归与判别分析，特别关注随机过程在金融数学中的建模实例。

偏微分方程考试范围涵盖吴荫 unintended《偏微分方程》上册，需系统掌握分离变量法（第二章）、特征线法（第四章）、非齐次方程特解构造（第六章）及适定性理论（第八章）。可参考哈工大《偏微分方程》下册补充变分法与有限元方法，重点练习弹性力学、传热方程等物理问题的数学建模。

实变函数与复变函数分别以华兴《实变函数与泛函分析基础》和周巢尘《复变函数》为蓝本，实变部分需精读勒贝格积分（第三章）、L^p空间（第五章）、紧性定理（第七章），复变部分强化解析函数唯一性定理（第二章）、留数计算（第四章）、保角映射（第六章）。建议补充Stein《Complex Analysis》中的调和函数与共形映射应用，通过《复变函数解题技巧》强化计算训练。

数学物理方法推荐王仁宏《数学物理方程与特殊函数》，重点掌握傅里叶变换（第四章）、格林函数法（第六章）、本征值问题（第八章）及特殊函数正交性（第十章）。需结合《偏微分方程讲义（阿蒂亚）》理解几何分析中的数学物理问题，通过《数学物理方法典型例题分析》掌握波动方程、热传导方程的数值解法。

优化理论部分以《凸优化（Boyd）》为基础，重点研究凸函数性质（第二章）、拉格朗日乘数法（第四章）、光滑非光滑优化（第六章）及随机优化（第十章）。建议补充Nocedal《数值优化》中的梯度下降算法与共轭梯度法，通过《最优化方法（数学规划）》（胡运华）强化动态规划与组合优化应用。

随机过程考试内容涵盖Sheldon Ross《随机过程》第二、四章，需深入理解马尔可夫链状态分类（第二章）、生灭过程（第四章）、泊松过程应用（第六章）。可拓展阅读《随机过程（ Grimmett）》中的更新理论，通过《随机过程及其应用（Sheldon Ross）》强化排队论与金融随机模型案例。

备考策略建议：第一阶段（1-3个月）完成教材通读与核心定理推导证明，第二阶段（4-6个月）进行专题突破与真题训练，第三阶段（7-9个月）开展综合模拟与热点研究。特别注意近五年人大真题中关于算子谱理论、随机微分方程数值解、机器学习中的矩阵分解等新兴交叉题型占比提升至35%，建议关注《数学进展》《应用数学学报》相关论文。最后阶段需精研近三年博士入学考试真题，重点分析2019年关于谱分解在算子方程中的应用、2021年随机矩阵特征值分布等典型考题，建立个性化知识图谱。